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Para que serve matriz no nosso cotidiano?

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Você sabe para que serve matriz e como ela pode nos ajudar bastante em vários assuntos e estudos que fazemos no nosso dia a dia? Pois é! As matrizes podem ser vistas, por exemplo:

  • Na economia;
  • Na engenharia;
  • Na matemática;
  • Na física;
  • Na meteorologia;
  • Em editores de imagens e vídeos;
  • Para calcular média no boletim escolar;
  • Na área de programação, entre outros.

É também por meio das matrizes que muitos aplicativos de matemática funcionam, principalmente as calculadoras que utilizamos. Legal, não é mesmo?

Então, para ver como isso ocorre na prática, que tal visualizar alguns exemplos? Confira agora para que serve matriz!

1. Tabelas de futebol

As tabelas dos campeonatos de futebol são usadas no dia-a-dia de grande parte da população que gosta de acompanhar a classificação do seu time do coração, mas o que passa despercebida por muitos é a forma como ela é estruturada. 

As tabelas de campeonatos de futebol são simples matrizes, assim como todas as outras tabelas que são divididas em linhas horizontais e colunas verticais.

Vejamos um exemplo:

Na tabela abaixo está a classificação do Brasileirão 2019, em que é possível identificar, por meio das linhas, os times e suas colocações, e, por meio das colunas, os critérios que ajudam no ranqueamento.

Essa disposição das informações que tornam a tabela em uma matriz.

Regra dos pontos ganhos

Mas não é só isso! Ainda com relação à tabela de futebol, existe a regra dos pontos ganhos. Aqui conseguimos nos aprofundar ainda mais em para que serve matriz. Você sabe como ela funciona?

A regra PG, como vista na tabela, se dá de forma simples. As informações são cruzadas através das matrizes, sendo a matriz A representante de três critérios utilizados: vitórias, empates e derrotas. Já a matriz B é responsável pelos pesos desses três critérios, preestabelecidos nas regras do campeonato, sendo: vitória 3 pontos, empate 1 ponto e derrota 0 pontos.

Desse  modo,  podemos exemplificar como é feita  multiplicação de matrizes dentro das tabelas de futebol.

Agora, vamos praticar um pouco com exercícios?

Os times de São Paulo decidiram fazer um campeonato entre si, em que cada time enfrentará o outro uma vez no seu estádio e outra vez no do adversário. 

Carlos é fanático por futebol e decidiu montar uma tabela em que ele irá anotar o número de vitórias, derrotas e empates de cada time, e outra com as pontuações para cada resultado: 3 para uma vitória, 1 para o empate e 0 para derrota.

Se os resultados dos jogos foram como os da imagem acima, como ficaria a tabela de Carlos?

A tabela de Carlos ficaria assim:

Quais foram as pontuações de todos os times? 

Multiplicando a tabela com os resultados dos jogos pela pontuação por cada resultado, conseguimos encontrar a seguinte classificação:

2. Área de um triângulo

Se você quer saber para que serve matriz, é importante ter em mente que essa é uma de suas aplicações que podemos considerar mais úteis, pois ela é de grande ajuda na hora de resolver exercícios.

Para calcular a área de um triângulo, você irá precisar saber um pouco sobre o cálculo de determinantes de uma matriz de ordem 3, como podemos observar na imagem abaixo.

= – (a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33) + (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32)

Para usarmos esse método devemos ter um triângulo no plano cartesiano com seus pontos identificados, como abaixo:

Com essas coordenadas, iremos montar uma matriz de ordem 3 da seguinte maneira:

  • A primeira coluna terá apenas os elementos X das coordenadas, ou seja, xa, xbe xc;
  • A segunda coluna terá apenas os elementos Y das coordenadas, ou seja, ya, yb e yc;
  • A terceira coluna será preenchida com o número 1 em todas as linhas, pois este número é neutro e com ele pode-se formar uma matriz quadrada.

Com isso teremos:

Substituindo os valores, encontraremos a matriz:

A próxima parte para encontrar a área do triângulo será calcularmos a determinante desta matriz, para isso teremos:

D=[0.(-2).1+1.1.4+1.6.3]-[1.(-2).4+0.1.3+1.6.1]

D=(0+4+18)-(-8+0+6)

D=22+2

D=24

Com o valor da determinante em mãos, chegamos à última parte, a mais simples. Devemos multiplicar o módulo da determinante por dois, pois não existem áreas negativas. E assim encontramos a área do triângulo.

Vamos colocar em prática o que você aprendeu fazendo um exercício? 

Qual a área de um triângulo de coordenadas A(6,3), B(4,2) e C(-1,-2)?

Se a sua resposta for igual à área 1,5, parabéns!

3. Criptografia

Criptografia é a prática de codificar dados. Quando os dados são criptografados, é aplicado um algoritmo para codificá-los de modo que eles não tenham mais o formato original e, portanto, não possam ser lidos. Os dados só podem ser decodificados ao formato original com o uso de uma chave de descriptografia específica.

O uso de matrizes para a criptografia não é um dos mais conhecidos e abordados nas escolas, mas para codificarmos uma mensagem e depois decodificá-la teremos de se saber dois conceitos sobre matrizes: como calcular uma multiplicação entre matrizes e como calcular a matriz inversa.

Codificando a Matriz

Primeiramente vamos precisar de uma matriz quadrada para ser a nossa chave, ou seja, essa será a matriz que irá criptografar a mensagem que queremos esconder.

Como exemplo, usaremos uma matriz de ordem 2, pois é a mais simples para se usar. A chave pode ter os números que você quiser. Aqui, escolhemos os números abaixo para demonstrar.

Agora, usando a palavra “bola” pode-se montar uma matriz B2xn, pois o número de linhas de B deverá ser igual ao de colunas de A. Entretanto, o número de colunas de B não importa e irá variar para cada palavra que você escolher.

Para construir a matriz B, vamos substituir cada letra pela sua posição no alfabeto, com B=2 O=15 L=12 A=1, formando a matriz abaixo:

Agora, com as duas matrizes prontas inicia-se a codificação da palavra. Para isso você deverá multiplicar a matriz chave pela matriz da palavra escolhida.

Efetuando a multiplicação, chegaremos ao seguinte resultado:

Como as matrizes terão sempre o mesmo número de linhas que a chave, não é necessário indicar a ordem da matriz, então, ao mandarmos essa mensagem para alguém podemos enviá-la desta maneira.

Chave/Senha: 1 3 4 2

Mensagem: 38 18 32 62

Decodificando a matriz

Chegou a hora que você realmente irá descobrir como pegar a mensagem enviada para decifrá-la. Existem dois modos para fazer isso.

1. Matriz inversa

Para decodificar a mensagem enviada, será necessário entender o conceito e a prática de como se usar uma matriz inversa. 

Portanto, deveremos encontrar a matriz inversa da matriz chave. Assim, teremos:

Com esse resultado em mãos, chegamos à última fase para descobrir a mensagem, em que iremos multiplicar a matriz encontrada A-1 pela matriz da mensagem enviada B. 

Mas atenção! Nunca se deve multiplicar B por A-1, pois o resultado será diferente. 

Como é possível perceber, ao utilizar a matriz inversa da chave e multiplicarmos pela matriz da mensagem, pode-se encontrar a mensagem que foi escondida, que corresponde à palavra “bola”.

2. Equação Matricial

Esse é outro método que leva aos mesmos resultados para decodificar uma mensagem. Para conseguirmos resolvê-los, devemos saber o conceito de sistemas de equação e multiplicação de matrizes.

Com esse método iremos usar um pouco de interpretação para chegarmos ao cálculo. Sabemos que para gerar a matriz com a mensagem codificada B devemos multiplicar uma matriz X pela chave A. Na linguagem matemática isso se expressa por:

A.X=B

Agora, substituiremos os elementos que queremos descobrir da matriz X por outras letras, mas não se confunda, pois elas não têm relação com a resposta final:

Formamos, então, dois sistemas de equação. Resolvendo-os teremos:

J=38-3L
J=38-36
J=2

4(38-3L)+2L=32
152-12L+2L=32
-10L=-120
L=12

K=18-3M
K=18-3
K=15

4(18-3M)+2M=62
72-12M+2M=62
-10M=-10
M=1

Então, substituindo os valores iremos encontrar a matriz:

Até aqui, você aprendeu a decifrar os códigos que podem ser feitos com matrizes. Agora, vamos testar seu aprendizado? Elaboramos três desafios para você! 

  • Desafio Fácil

Descubra a palavra escondida nessa mensagem:

Chave: 1 4 3 2

Mensagem: 87 61 61 33

Se você chegou à resposta “gato”, parabéns! 

  • Desafio Médio

Crie uma mensagem criptografada para um amigo com a senha: 4 3 5 8.

Se você chegou à resposta “pessoal”, parabéns!

  • Desafio Difícil

Descubra o que está escrito na frase formada pelas matrizes abaixo. 

Uma dica: as palavras estão separadas pelo underline e a senha serve apenas para a primeira palavra, porém todas as senhas serão de ordem 2. 

Senha: 1 2 3 4

Mensagem: 28 25 78 65 _ 322 291 425 396 103 84 120 54 _ 32 66 460 645
Se você chegou à resposta “Você acertou tudo”, parabéns! Você aprendeu direitinho a decifrar mensagens utilizando matrizes.

4. Matriz BCG

A matriz BCG é um método pensado por Bruce Henderson e surgiu com o intuito de ajudar a tomar decisões complexas. O nome corresponde às iniciais da empresa Boston Consulting Group. Essa matriz permite uma análise dos produtos e desempenhos de determinadas marcas com base no mercado.

Esse método requer uma apresentação gráfica semelhante a um plano cartesiano, onde seus eixos possuem dois divisores e resultam em quatro quadrantes. 

Cada um dos produtos é colocado em análise individual e em seguida é classificado e direcionado a um dos quadrantes.

Essa classificação é feita da seguinte forma:

A estrela são os produtos em ascensão, aqueles que possuem mais destaque no mercado consumidor. Porém, eles requerem alto custo para serem fabricados pelas empresas. O ponto de interrogação condiz com produtos que ainda não geraram muito lucro, mesmo com divulgação e marketing.

A vaca leiteira, assim como a estrela, são produtos com muita procura, mas ,ao contrário, seu custo de fabricação é baixo e sua procura é natural, sem necessidade de muita propaganda. É o quadrante mais almejado pelas empresas.

O abacaxi ocupa o último lugar da matriz. Nele se localiza o produto que tem baixa performance em vendas.

Viu só para que serve matriz e como ela pode ser muito mais útil do que imaginamos? Neste artigo, vimos que ela tem várias funções, principalmente nas áreas de informática e programação, servindo também como forma de pesquisa no mercado consumidor, como o exemplo da matriz BCG. 
Ficou com vontade de aprender mais sobre o assunto? Confira nosso artigo sobre como calcular matrizes!

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