Saiba o que é matriz, seus tipos e como fazer suas operações

Você sabe o que é matriz e para que ela serve?

Bom, para iniciar essa explicação, vamos dizer que a matriz é uma forma de organização de dados que estão presentes em uma tabela para facilitar a resolução de problemas. Ela também pode ser aplicada em diversas tarefas do nosso cotidiano, que muitas vezes fazemos sem perceber. 

Bateu a curiosidade aí? Então, vamos aprender mais sobre matriz! Hoje, iremos ensinar a você mais sobre ela de forma bem simples. 

O que é matriz e para que serve 

Matriz é uma tabela com informações, sejam numéricas ou não, organizadas em linhas e colunas no formato m x n, onde m representa o número de linhas na sua horizontal e n o número de colunas na vertical.

A função das matrizes é relacionar dados numéricos com o objetivo de facilitar a solução de problemas. Devido às suas diversas aplicações, o conceito de matriz não serve só na Matemática, mas também em outras áreas.

Aproveite para ler: Para que serve matriz no nosso cotidiano?

Os elementos da matriz  

Os elementos das matrizes são bem simples e seguem uma espécie de padrão, que é sua a lei de formação. 

Eles podem ser números reais, números complexos, expressões matemáticas e até mesmo outras matrizes.

Para entendermos melhor, vamos ver o exemplo da seguinte matriz: 

Os elementos da matriz, são obviamente os números que estão “dentro” dela, ou seja, os números 5, 4, 6, 3, 7, 2, 8 e 1.  

Quando estamos falando de matrizes, sempre as representamos por uma letra maiúscula: A, B e assim por diante, como na imagem acima. Agora, com relação aos seus elementos, usamos a representação: 

Sendo: 

• A (maiúsculo): matriz;
• a (minúsculo): elemento;
• i: o número de linhas horizontais;
• j: o número de colunas verticais.

Agora, aplicando tal forma ao exemplo dado anteriormente, temos: 

a₁₁ = 5

a₁₂ = 6

a₁₃ = 7

a₁₄ = 8

a₂₁ = 4

a₂₂ = 3

a₂₃ = 2

a₂₄ = 1

Dica dos elementos

Ao usar o “A” maiúsculo, estamos nos referindo à matriz, e o “a” minúsculo a algum de seus elementos.

Cuidado!

• U_4×6 é uma matriz que tem 4 linhas e 6 colunas. 
• Já U₄₂ se refere á um elemento na linha 4 e coluna 2. 

Agora, olhe a imagem e perceba como fica mais fácil de entender:

Vamos praticar com um exercício?

Qual o elemento U₄₂ na seguinte matriz?

Se você falou o 9, acertou! Parabéns!   

Diagonal principal e diagonal secundária

A diagonal principal é a linha da matriz que parte sempre do primeiro elemento da matriz (a_11) passando pelo centro até o último elemento. 

Já a diagonal secundária, parte do último elemento da primeira coluna passando pelo centro até encontrar o primeiro elemento da última coluna.

Exemplo:

Classificação da matriz

Dado o exemplo: 

O número 4 está na linha 1 e na coluna 1, o que corresponde à a_11.  De forma completa, os elementos da matriz A_2×3 são: 

a₁₁ = 4

a₁₂ =16

a₁₃ = 25

a₂₁ = 81

a₂₂ = 100

a₂₃ = 9

E também podemos classificá-la assim:

Tipos de matrizes 

Matriz quadrada

Quando a matriz tiver o mesmo número de linhas e colunas, é atribuído o nome de matriz quadrada.

Exemplo:

Matriz retangular

Se a matriz não for quadrada ela será retangular. Isso se deve ao fato do número de linhas ser diferente do número de colunas. 

Exemplo:

Matriz Triangular

É uma matriz em que todos os elementos, acima ou abaixo da diagonal principal, são iguais a zero.

Exemplo: 

Matriz Diagonal

Aqui também, todos os elementos da matriz, acima e abaixo da diagonal principal, devem ser iguais a zero. 

Exemplo:

Matriz Antidiagonal

Essa matriz é semelhante à matriz diagonal, porém nela, todos os elementos são zero, exceto aqueles na diagonal indo do canto inferior esquerdo ao canto superior direito (↗), conhecida como a antidiagonal.

Exemplo:

Matriz Escalar

Nesse tipo de matriz, todos os elementos da diagonal principal devem ter o mesmo valor e os demais elementos devem ser zero. Essa matriz também é uma matriz diagonal.

Exemplo:

Matriz Identidade

Todos os elementos da diagonal principal dessas matrizes são iguais a 1 e todos os outros elementos têm o valor zero. Essa matriz também é considerada uma matriz escalar.

Exemplo:

Matriz Nula

Estas são matrizes com todos os elementos iguais a zero. Se ela for uma matriz quadrada, também é considerada uma matriz escalar, porque os elementos da diagonal principal têm o mesmo valor e os demais são zero.

Exemplo:

Matriz Linha

É uma matriz que consiste em apenas uma linha.

Exemplo:

B = [2 4 6]

Matriz Coluna

Essa matriz é semelhante à anterior, mas contém apenas uma coluna.

Exemplo:

Matriz Idempotente

Essa é uma matriz, que se você multiplicar por ela mesma, ou seja, elevar ao quadrado, o resultado será a mesma matriz. Em outras palavras, teremos: A^2=A.

Exemplo:

Leia também: Aprendendo matriz simétrica e antissimétrica de uma maneira simples e rápida!

Operações entre matrizes

Para resolver os problemas matriciais é importante aplicar as diversas operações aritméticas. Vamos ver cada uma delas?

Adição de matrizes

A adição de matrizes é definida apenas para matrizes da mesma ordem. 

Portanto, se A = (aij) m × n e B = (bij) m × n, então a soma de A + B pode ser considerada a matriz C = (cij) m × n, onde, para todos os j com 1≤j≤n, para cada i com 1≤i≤me, cij = aij + bij.

Exemplo:

Dada as matrizes A e B determine A+B.

A solução será:

As propriedades da adição de matrizes

Sendo A, B, C e O (matriz nula) matrizes de mesmo tipo e p, q ∈ R, valem as propriedades:

• Comutativa: A + B = B + A; 
• Associativa:(A + B) + C = A + (B + C); 
• Existência do elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A;
• Existência do elemento oposto: A + (-A) = (-A) + A = 0; 
• Cancelamento: A + C = B + C ⇔ A = B. 

Subtração de matrizes

A partir da soma das matrizes A oposta de B, ou seja, A – B = A + (-B), a subtração entre duas matrizes A e B pode ser obtida e a ordem das duas é a mesma.

Exemplo:

Dada as matrizes A e B.

A solução será:

C = A – B = A + (-B) 

Igualdade de matrizes

Se duas matrizes A e B tiverem o mesmo tipo e os elementos correspondentes forem iguais, eles serão os mesmos. Portanto, se A = (aij) e B = (bij) são matrizes do tipo m x n.

Exemplo:

Determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais.

A solução será:

Matriz transposta

Dada uma matriz A do tipo mxn, chame a transposição de A e troque sequencialmente as linhas nas colunas de A para obter a matriz. 

Exemplo:

Observe que A é do tipo 3 x 2, At é do tipo 2 x 3 e, na matriz transposta, a primeira linha corresponde à primeira coluna da matriz original e a segunda linha corresponde à segunda coluna, também da matriz original.

Multiplicação de matrizes

O produto de uma matriz e de outra não pode ser determinado pelo produto de seus respectivos elementos.

Portanto, o produto da matriz A = (aij) mxpe B = (bij) pxn é a matriz C = (cij) mxn, em que cada elemento cij é obtido adicionando o produto dos elementos correspondentes da linha i. A composição do elemento da coluna B de j.

Vamos multiplicar a matriz para entender como obter cada elemento de cij:

Assim,

Agora, veja como seria feito se fosse o contrário, ou seja, multiplicar B por A:

Portanto A.B ≠ B.A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale utilizar a propriedade comutativa.

As propriedades da multiplicação de matrizes

Considerando as matrizes A, B e C, valem:

• Associativa: (A.B).C = A.(B.C);
• Distributiva em relação à adição: A.(B + C) = A. B + A.C ou (A + B).C = A.C + B.C;
• Elemento neutro: A.In = In.A = A. Sendo In a matriz identidade de ordem n.

Matriz oposta

A matriz oposta a A é chamada matriz -A, e sua soma com A é uma matriz nula.

Exemplo:

A solução será:

Deu para entender o que é matriz? Esperamos que nossa explicação abordando seus diversos casos e propriedades diferentes tenha facilidade a sua compreensão. Caso queira aprofundar mais no conceito de matriz, leia nosso artigo Como calcular matriz, definições e procedimentos na hora de fazer esse processo.