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Saiba o que é arranjo simples e como fazer sua operação

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Você sabe o que é arranjo simples? Bom, para começar a estudar o assunto, precisamos falar um pouquinho sobre análise combinatória. Ela nada mais é que um conteúdo na Matemática que estuda os dois tipos de agrupamentos: os arranjos e as combinações. 

Neste artigo vamos mostrar a você o conceito de arranjo simples, para que ele serve e alguns exemplos de cálculo! Então, bora aprender?

O que é arranjo simples?


Os arranjos são conjuntos ou agrupamentos nos quais a ordem dos seus elementos faz diferença.  Ficou confuso? Vamos explicar melhor. 

Dado um conjunto A = {a1, a2, a3, …, an} com elementos distintos, chamaremos de arranjo simples toda a sequência que é formada por uma quantidade limitada de elementos, sendo todos eles pertencentes ao conjunto A. Vejamos um exemplo prático.

Os números de três algarismos formados pelos elementos {1, 2 e 3} são: 312, 321, 132, 123, 213 e 231.

Dessa forma, esse agrupamento é um arranjo, pois a ordem dos elementos 1, 2 e 3 diferem e ainda é considerado simples, porque os elementos resultantes não se repetem. Entendeu?


Então, para ter um arranjo simples é preciso de um conjunto de elementos distintos com uma quantidade qualquer de elementos, sendo que os arranjos simples formados irão possuir n elementos e essa quantidade será igual ou menor que a quantidade de elementos do conjunto.

Mas você deve estar pensando “como vou conseguir encontrar a quantidade desses arranjos?”, não é mesmo?

Bom, para encontramos a quantidade de arranjos possíveis sem que seja preciso expressar cada arranjo individualmente, podemos utilizar o Princípio Fundamental da Contagem. 

Isso nós veremos logo em seguida, mas primeiro vamos entender para que serve o arranjo simples. 

Para que serve o arranjo simples?

Podemos dizer que o arranjo simples é utilizado para obter um número de agrupamentos possíveis a serem realizados usando um conjunto finito de elementos. 

Isso quer dizer que estamos tratando de diversas possibilidades em um dado conjunto. Vale lembrar, que no arranjo, os elementos mudam de posição, ou seja, sua ordem. E como resultado, o agrupamento se torna diferente, porque seus elementos são organizados por uma ordem também diferente. 

Deu pra entender direitinho a utilidade deste conceito? Então, vamos aprender a fazer o seu cálculo. 

Aproveite para ler: Para que servem as medidas de tendência central no nosso cotidiano. 

Como calcular o arranjo simples?

Vamos explicar como fazer este cálculo utilizando exemplos:

Vamos considerar dois conjuntos de números de 5 números a serem formados pelos elementos (algarismos) do conjunto A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} e que eles sejam divisíveis por 3.

Logo, os números 12345 e 54321 são divisíveis por 3 e possuem 5 números do conjunto A, certo?

Os números usados ​​na construção desses conjuntos são os mesmos, mas estão organizados em uma ordem diferente, tornando-os diferentes uns dos outros. 

Portanto, este exercício de análise combinada é um exemplo de um arranjo simples. 

Mas para calcular o número de grupos que podemos formar, não é necessário resumir todos os grupos, uma vez que eles podem ser muitos. Sendo assim, é necessário apenas utilizar a seguinte fórmula:

Onde:

n =  corresponde a quantidade de elementos do conjunto;

p = corresponde a um número natural menor ou igual a n, que representa a união dos elementos na formação dos agrupamentos.

Agora, vamos aos exemplos aplicando a fórmula.

1. Dado o conjunto B = (1, 2, 3 e 4).

a) Quantos são os arranjos simples dos elementos de B tomados de 2 a 2?

Vamos lá! Para fazer o cálculo da quantidade de arranjos, precisamos seguir a fórmula. Então, temos que:

n = corresponde a quantidade total de elementos do conjunto B, ou seja, 4.

p = são os elementos por arranjo, ou seja, 2.

Substituindo os números na fórmula temos:

E chegamos ao resultado, que se tomamos os elementos do conjunto B de 2 a 2, será possível formar 12 arranjos. 

Leia também: Aprenda como calcular a média aritmética de forma simples e fácil.

b) Quantos são os arranjos simples dos elementos de B tomados de 3 a 3?

Da mesma forma, aplicamos a fórmula para o arranjo simples:

Então, temos que:

n = corresponde aos elementos do conjunto B, ou seja, 4.

p = corresponde aos elementos por arranjo, ou seja, 3.

Substituindo os números na fórmula temos:

E chegamos ao resultado, que se tomamos os elementos do conjunto B de 3 a 3, será possível formar 24 arranjos. 

2. Um cadeado possui 3 rodelas numeradas de 0 a 9. Quantas combinações com 3 algarismos diferentes existem?

Pensa com a gente: de 0 a 9, temos 10 possibilidades de algarismos para cada rodela, certo? Mas não podemos repetir esses algarismos para que ele seja um arranjo simples. Dessa forma:

  • Para a primeira rodela, temos 10 possíveis escolhas;
  • Para a segunda rodela, não podemos repetir o elemento usado na primeira, então temos 9 possíveis escolhas;
  • Para a terceira rodela, não podemos repetir o elemento da primeira nem da segunda, então temos 8 possíveis escolhas.

Portanto, pelo princípio multiplicativo da combinatória temos:

E é com essa lógica que chegamos na fórmula de arranjo simples. Legal né?

3. Numa competição de programação, participam 10 programadores. A premiação é feita aos dois primeiros colocados. De quantas maneiras a premiação pode ocorrer?

Vamos lá! Para fazer essa conta, basta que usemos um arranjo simples de 10 pessoas tomadas de 2 a 2, que representa o número de possibilidades de escolher duas pessoas distintas dentre as 10 para premiar e onde a ordem delas importa, já que um é o campeão e o outro o vice.

Então, substituindo os valores na fórmula, temos: 

Portanto, temos o total de 90 possibilidades.

4. Seja W = {A, B, C}. Quantas são as possibilidades de arranjos de 2 elementos?

Para solucionar este caso, podemos notar que n = 3 e p = 2, portanto, basta substituir os números na fórmula.

Realizando as contas, temos que o número de arranjos são 3.

5. Numa loja, os códigos de produtos são formados por quatro letras das 20 primeiras letras do alfabeto. Quantas formações de códigos de produtos são possíveis?

Note que, não importa se as letras se repetem no código. Portanto, para cada letra integrante temos um total de 20 possibilidades. 

E pelo Princípio Fundamental da Contagem, basta que façamos a multiplicação das possibilidades, assim: 

20⋅ 20 ⋅ 20 ⋅ 20 = 160.000

Portanto, teremos um total de 160.000 códigos.

Gostou de aprender o que é arranjo simples? Esperamos que este artigo tenha esclarecido suas dúvidas e visto melhor o conceito e a forma de fazer essa operação. E para continuar seus estudos na Matemática, você pode ler nosso próximo artigo sobre as medidas de tendência central mais utilizadas na estatística

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