Blog de Estudos

Aprenda a fazer multiplicação de matrizes com conceitos e processos simples

Share on facebook
Share on twitter
Share on linkedin
Share on email
Share on whatsapp

Você sabe multiplicar matrizes? Não? Então, você vai aprender hoje com este artigo! Nós vamos abordar os conceitos e os processos pelos quais se realizam a multiplicação de matrizes.

Nosso objetivo é que você aprenda a chegar numa matriz inversa, numa matriz fruto de uma multiplicação entre duas outras matrizes ou numa matriz resultante da multiplicação de outra matriz por qualquer número real.

Ficou confuso? Calma que nós vamos te explicar direitinho!

Conheça a condição para a multiplicação de matrizes

Para conseguirmos fazer a multiplicação de matrizes, a primeira coisa que precisamos saber é que o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda.

Por exemplo: O=o produto AB ou A.B somente irá existir se o número de colunas de A, que é a 1ª matriz, for igual ao número de linhas de B, a 2ª matriz.

Então, a matriz AB terá o número de linhas da 1ª matriz A e o número de colunas da 2ª matriz B.

Existe o produto AB (ou A.B) se, e somente se, o número de colunas de A (1ª matriz) é igual ao número de linhas de B (2ª matriz);

Existindo a matriz AB, ela tem o número de linhas de A (1ª matriz) e o número de colunas de B (2ª matriz).

Característica da matriz produto

Até aqui você entendeu que a matriz produto da multiplicação das matrizes terá o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda, certo?

Ótimo! Pois, se você já dominar qual a condição para multiplicar matrizes e, principalmente, a característica da matriz produto dessa multiplicação, você já sabe o  fundamental para resolver as equações matriciais.

Saiba como fazer a multiplicação de matrizes

A multiplicação de matrizes é uma operação que possui suas características próprias. Não é igual a somar um elemento e outro. Para realizar a multiplicação é preciso seguir alguns requisitos: 

Multiplicar as linhas da primeira com as colunas da segunda

Cálculo de x11:

X11= -3.(-1) + 1.3 + 0.(-2) = 3 + 3 + 0 = 6

Cálculo de x12:

X12= -3.2 + 1.5 + 0.6 = -6 + 5 + 0 = -1

Cálculo de x21:

X21= -2.(-1) + 4.3 + (-2).(-2) = -2 + 12 + 4 = 14

Cálculo de x22:

X22= 2.2 + 4.5 + -2 .6 = 4 + 20 – 12 = 12

Conclusão:

Viu como é fácil? Na linguagem da Matemática  dizemos que o número de colunas da 1ª matriz deve ser convergente ao número de linhas da 2ª matriz. 

Então, se todas as  matrizes respeitarem a condição de existência do produto, elas poderão ser multiplicadas, caso o contrário não será possível efetuar a multiplicação de matrizes.

Outra característica do produto é que o elemento produto da linha 2 com a coluna 2, resultará no elemento c22 da matriz. Veja:

Para finalizar essa parte, vamos dar um exemplo para você acompanhar:

Dadas as matrizes A e B, efetue a multiplicação de matrizes, se assim for possível.

Cálculo de x11:

X11= -3.(-1) + 1.3 + 0.(-2) = 3 + 3 + 0 = 6

Cálculo de x12:

X12= -3.2 + 1.5 + 0.6 = -6 + 5 + 0 = -1

Cálculo de x21:

X21= -2.(-1) + 4.3 + (-2).(-2) = -2 + 12 + 4 = 14

Cálculo de x22:

X22= 2.2 + 4.5 + -2 .6 = 4 + 20 – 12 = 12

Conclusão:

Aprenda a multiplicação de matriz por um número real

Fazer a multiplicação de uma matriz por um número real é uma operação bem mais simples. Basta que você multiplique todos os elementos da matriz por este número real. Neste caso, será necessário aplicar a propriedade distributiva da multiplicação e o resultado será uma matriz de mesma ordem.

Vaja o exemplo:

5.   2 -1 0  -4  3  6  =

Aplicando a propriedade distributiva temos o resultado:

[10 -5 0  -20  15  30]

Veja como multiplicar matriz inversa

Quando tratamos da multiplicação entre números reais, como visto acima, temos um conceito já bastante conhecido, chamado: elemento neutro

Você sabe o que é esse elemento neutro?

O elemento neutro é o número 1, ou seja, qualquer número existente em todo o universo multiplicado por 1 será igual a ele mesmo. 

Basicamente, temos:

1.Z = Z

Em que:

  • 1 é o elemento neutro;
  • Z é qualquer número.

Ok, você deve estar se perguntando  “por que estamos falando disso se o assunto é as matrizes inversas?”. Por um simples motivo: se você sabe o que é o elemento neutro, você pode calcular facilmente o inverso de um número. 

Exemplificando:

Y . Z = 1

Em que:

  • 1 é o elemento neutro;
  • Z é qualquer número real;
  • Y é o inverso de Z.

Entendeu bem?

Vamos então fazer um exercício. Como descobrir o número inverso de 3/4?

3/4∙Y=1→3Y= 4→Y= 4/3

Em que Y é o número inverso de 3/4.

É dessa exata maneira que descobrimos uma matriz inversa: multiplicando o inverso de uma matriz pela matriz original, obtemos o elemento neutro. 

Mas atenção! Existe uma pequena diferença aqui: o elemento neutro das matrizes não é 1, mas sim uma matriz chamada matriz identidade, representada por I. 

A matriz identidade é uma matriz quadrada, que independente da sua ordem, sempre terá em sua diagonal principal  o número 1 e todo o restante da matriz é preenchido pelo número zero.

Sendo assim, I2 é uma matriz de ordem 2 que sua diagonal principal contém o número 1 e os demais elementos são zero.

Agora, sem mais delongas, vamos ao que interessa! Qual é a matriz inversa da matriz A-1 )?    

Sabemos que: A . A-1=I2

Denominando A-1 =  

 

A . A-1=I2    

Substituindo os valores: 

Prosseguiremos com a multiplicação de matrizes normalmente, como já ensinado anteriormente.

(3.a)+(2.c)=1

3.b+2.d=0

1.a+0.c=0

1.b+0.d=1

Observe que se formou um sistema linear. Prosseguiremos com os cálculos. 

3a+2c=1

3b+2d=0

a=0

b=1

Substituindo os valores de a e de b nas equações, será possível descobrir o valor de c e de d.

3.0+2.c=1 →2c=1 →c= 12

3.1+2.d=0 →3+2d=0 →2d= -3 →d= -3/2

Pronto! Descobrimos a nossa matriz A-1, a inversa de A. Substituindo os valores das incógnitas, temos: 

A-1  = 

Simples, né? Esperamos que você tenha aprendido as formas possíveis de multiplicação de matrizes para facilitar na hora de resolver os exercícios que envolvam este conteúdo tão importante na Matemática! E volte mais vezes ao nosso blog! Nós vamos postar mais conteúdos para você ficar por dentro de outros conceitos relacionados às matrizes. 

Compartilhe esse post
Share on facebook
Share on twitter
Share on linkedin
Share on email
Share on whatsapp

Sobre o professor(a)