Você sabe o que é matriz inversa? Este é o conceito matemático que iremos tratar neste artigo. E para você ficar craque no assunto, iremos abordar suas principais propriedades e exemplificações de cálculos.
Já que as matrizes são um assunto de grande importância nas provas e nos vestibulares, então esperamos que você fique afiadinho com nossas explicações.
Vamos lá?
O que é matriz inversa?
Uma matriz inversa, também chamada de matriz invertível, é um tipo de matriz caracterizada pelo padrão A.X=B , onde:
- A é a matriz original;
- X é a matriz inversa da matriz original;
- B é a matriz identidade.
Então, considerando Anxn uma matriz quadrada, onde n é o número de linhas e, consequentemente, o número de colunas, sua matriz inversa é nomeada de A-1.
Como calcular a matriz inversa?
Para se calcular uma matriz inversa, é necessário termos o domínio de dois conceitos principais:
1. Conceito de matriz identidade (I)
Uma matriz identidade I de ordem n se caracteriza por ter seus elementos da diagonal principal iguais a 1 e o restante dos elementos iguais a 0.
Veja um exemplo de uma matriz identidade I de ordem 2.
As matrizes identidades deverão ser sempre quadradas, ou seja, a quantidade de colunas deve ser igual à quantidade de linhas.
2. Conceito de multiplicação de matrizes
De forma breve, a multiplicação entre matrizes é uma operação na qual multiplicamos as linhas da primeira matriz com as colunas da segunda matriz.
Prontinho! Tendo esses dois conceitos claros em mente, agora sim, podemos seguir para o cálculo de matriz inversa. Mas antes, vamos conhecer algumas de suas propriedades.
Quais são as propriedades da matriz inversa?
- Há somente uma matriz inversa A-1 para cada matriz original A;
- A matriz inversa será de mesma ordem da sua original;
- Nem todas as matrizes possuem uma matriz inversa;
- Para uma matriz ser invertível, seu determinante D deve ser diferente de zero;
- Sendo D = 0, a sua matriz inversa é inexistente. Portanto, apenas as matrizes quadradas possuem uma matriz inversa, já que o cálculo do determinante só é possível nessas matrizes;
- Sendo D ≠ 0, a multiplicação da matriz A pela sua matriz inversa A-1 deve resultar em uma matriz identidade I;
- A matriz inversa de uma inversa corresponde à própria matriz: A = (A-1) -1;
- A matriz transposta At de uma matriz inversa A-1 corresponde à matriz inversa A = (A-1) t.
- A matriz inversa de uma matriz identidade é igual à matriz identidade: I-1 = I.
Como calcular a matriz inversa?
Para o cálculo de matriz inversa, é necessário saber que a multiplicação de uma matriz A por B, sendo B sua matriz inversa, tem como produto uma matriz identidade I.
Observe que se a matriz A possui uma matriz inversa, essa é chamada de A-1.
Vamos ao exemplo:
Para encontrar a matriz inversa da matriz A33 abaixo, devemos considerar que, ao multiplicarmos ela pela sua respectiva matriz inversa se obtém uma matriz identidade I.
1º passo: devemos organizar a estrutura da multiplicação
2º passo: realizamos a multiplicação das matrizes
Organizada a estrutura, basta multiplicar cada elemento da primeira linha da primeira matriz por cada elemento da primeira coluna da segunda matriz. Ao somar os valores obtidos, teremos o primeiro elemento da primeira linha da matriz identidade.
(1.a) + (0.d) + (0.g) = 1
a = 1
Em seguida, multiplicamos cada elemento da segunda linha da primeira matriz por cada elemento da primeira coluna da segunda matriz. Ao somar os valores obtidos, teremos o primeiro elemento da segunda linha da matriz identidade.
(1.a) + (3.d) + (1.g) = 0
a + 3d + g = 0
E assim por diante, realizamos as multiplicações, até chegarmos a um sistema de equações.
Para que fique visualmente mais simples, podemos colocar as equações obtidas na matriz, conforme o exemplo a seguir:
De acordo com a matriz acima, podemos perceber que esse sistema de equação pode ser subdivido em três outros sistemas, cada um com três incógnitas.
Ficou difícil? Calma que isso te ajudará a simplificar e organizar suas contas. Então, vamos aos sistemas:
1º sistema
a = 1
a + 3d + g = 0
a + 2d = 0
Agora, basta resolver o sistema por meio do método de isolamento e substituição. Assim, teremos:
a = 1
a + 3d + g = 0
1 + 2d = 0
d = -½
1 + 3.(-½) + g = 0
g = ½
2º sistema
b= 0
b + 3e + h = 1
b + 2e = 0
Agora, basta resolver o sistema por meio do método de isolamento e substituição. Assim, teremos:
b + 3d + h = 1
0 + 3.(0) + h = 1
h = 1
b = 0
0 + 2e = 0
e = 0
3º sistema
c = 0
c + 2f = 1
c + 3f + i = 0
Agora, basta resolver o sistema por meio do método de isolamento e substituição. Assim, teremos:
c = 0
0 + 2f = 1
f = ½
c + 3f + i = 0
0 + 3. (½) + i = 0
i = -3/2
Por fim, depois que descobrimos todos os valores das incógnitas, encontramos todos os elementos que compõem a matriz inversa de A.
Viu como é fácil compreender e calcular uma matriz inversa? Esperamos que os conceitos e os exemplos trabalhados foram suficientes para esclarecer o conceito de matriz inversa.E se sintam confortáveis para voltar ao nosso blog! Nós vamos postar mais conteúdos para você ficar por dentro de diversos conceitos sobre matrizes.
