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Aprenda as propriedades da matriz inversa e os passos para fazer essa operação

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Você sabe o que é matriz inversa? Este é o conceito matemático que iremos tratar neste artigo. E para você ficar craque no assunto, iremos abordar suas principais propriedades e exemplificações de cálculos.  

Já que as matrizes são  um assunto de grande importância nas provas e nos vestibulares, então esperamos que você fique afiadinho com nossas explicações.

Vamos lá?

O que é matriz inversa?

Uma matriz inversa, também chamada de matriz invertível, é um tipo de matriz caracterizada pelo padrão A.X=B , onde:

  • A é a matriz original;
  • X é a matriz inversa da matriz original;
  • B é a matriz identidade.

Então, considerando Anxn uma matriz quadrada, onde n é o número de linhas e, consequentemente, o número de colunas, sua matriz inversa é nomeada de A-1.

Como calcular a matriz inversa?

Para se calcular uma matriz inversa, é necessário termos o domínio de dois conceitos principais:

1. Conceito de matriz identidade (I)

Uma matriz identidade I de ordem n se caracteriza por ter seus elementos da diagonal principal iguais a 1 e o restante dos elementos iguais a 0.

Veja  um exemplo de uma matriz identidade I de ordem 2.

As matrizes identidades deverão ser sempre quadradas, ou seja, a quantidade de colunas deve ser igual à quantidade de linhas. 

2. Conceito de multiplicação de matrizes

De forma breve, a multiplicação entre matrizes é uma operação na qual multiplicamos as linhas da primeira matriz com as colunas da segunda matriz.

Prontinho! Tendo esses dois conceitos claros em mente, agora sim, podemos seguir para o cálculo de matriz inversa. Mas antes, vamos conhecer algumas de suas propriedades.

Quais são as propriedades da matriz inversa?

  • Há somente uma matriz inversa A-1 para cada matriz original A;
  • A matriz inversa será de mesma ordem da sua original;
  • Nem todas as matrizes possuem uma matriz inversa;
  • Para uma matriz ser invertível, seu determinante D deve ser diferente de zero
  • Sendo D = 0, a sua matriz inversa é inexistente. Portanto, apenas as matrizes quadradas possuem uma matriz inversa, já que o cálculo do determinante só é possível nessas matrizes;  
  • Sendo D ≠ 0, a multiplicação da matriz A pela sua matriz inversa A-1 deve resultar em uma matriz identidade I;
  • A matriz inversa de uma inversa corresponde à própria matriz: A = (A-1) -1;
  • A matriz transposta At de uma matriz inversa A-1 corresponde à matriz inversa A = (A-1) t
  • A matriz inversa de uma matriz identidade é igual à matriz identidade: I-1 = I.

Como calcular a matriz inversa?

Para o cálculo de matriz inversa, é necessário saber que a multiplicação de uma matriz A por B, sendo B sua matriz inversa, tem como produto uma matriz identidade I.

Observe que se a matriz A possui uma matriz inversa, essa é chamada de A-1.

Vamos ao exemplo:

Para encontrar a matriz inversa da matriz A33 abaixo, devemos considerar que, ao multiplicarmos ela pela sua respectiva matriz inversa se obtém uma matriz identidade I. 

1º passo: devemos organizar a estrutura da multiplicação

2º passo: realizamos a multiplicação das matrizes

Organizada a estrutura, basta multiplicar cada elemento da primeira linha da primeira matriz por cada elemento da primeira coluna da segunda matriz. Ao somar os valores obtidos, teremos o primeiro elemento da primeira linha da matriz identidade.

(1.a) + (0.d) + (0.g) = 1

a = 1

Em seguida, multiplicamos cada elemento da segunda linha da primeira matriz por cada elemento da primeira coluna da segunda matriz. Ao somar os valores obtidos, teremos o primeiro elemento da segunda linha da matriz identidade.

(1.a) + (3.d) + (1.g) = 0

a + 3d + g = 0

E assim por diante, realizamos as multiplicações, até chegarmos a um sistema de equações.

Para que fique visualmente mais simples, podemos colocar as equações obtidas na matriz, conforme o exemplo a seguir:

De acordo com a matriz acima, podemos perceber que esse sistema de equação pode ser subdivido em três outros sistemas, cada um com três incógnitas. 

Ficou difícil? Calma que isso te ajudará a simplificar e organizar suas contas. Então, vamos aos sistemas:

1º sistema

a = 1

a + 3d + g = 0

a + 2d = 0

Agora, basta resolver o sistema por meio do método de isolamento e substituição. Assim, teremos:

a = 1

a + 3d + g = 0

1 + 2d = 0

d = -½

1 + 3.(-½) + g = 0

g = ½

2º sistema

b= 0

b + 3e + h = 1

b + 2e = 0

Agora, basta resolver o sistema por meio do método de isolamento e substituição. Assim, teremos:

b + 3d + h = 1

0 + 3.(0) + h = 1

h = 1

b = 0

0 + 2e = 0

e = 0

3º sistema

c = 0

c + 2f = 1

c + 3f + i = 0

Agora, basta resolver o sistema por meio do método de isolamento e substituição. Assim, teremos:

c = 0

0 + 2f = 1

f = ½

c + 3f + i = 0

0 + 3. (½) + i = 0

i = -3/2

Por fim, depois que descobrimos todos os valores das incógnitas, encontramos todos os elementos que compõem a matriz inversa de A.

Viu como é fácil  compreender e calcular uma matriz inversa? Esperamos que os conceitos e os exemplos trabalhados foram suficientes para esclarecer o conceito de matriz inversa.E se sintam confortáveis para voltar ao nosso blog! Nós vamos postar mais conteúdos para você ficar por dentro de diversos conceitos sobre matrizes.

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